Страница: 2/3
и т. д.
Сформулированный алгебраический критерий устойчивости называют критерием Рауса - Гурвица.
При составлении определителей по указанной схеме коэффициенты с индексом, превышающим степень характеристического уравнения заменяют нулями. Поэтому для уравнения четвертой степени получаются следующие определители :
В результате несложно видеть, что выполняется равенство
Отсюда по теореме Гурвица следуют условия устойчивости (в виде следующих неравенств):
Так, для характеристического уравнения второй степени
Критерий Рауса - Гурвица особенно удобен для проверки устойчивости цепи с заданными параметрами: вычисления относительно просты. Недостатком этого критерия является ограниченность применения: область применения критерия ограничена цепями с сосредоточенными параметрами, поскольку только для них передаточная функция выражается через многочлены. Кроме того этот критерий не дает ясных указаний на то как из неустойчивой цепи сделать устойчивую.
Геометрические критерии устойчивости.
Требование, чтобы передаточная функция
|
|
не имела полюсов в правой полуплоскости р = s + iw, т.е. в области, ограниченной полуплоскостью бесконечно большого радиуса R и осью iw (см. рисунок), равносильно условию, что знаменатель выражения (2) не должен иметь нулей в указанной области или, что то же, функция
(*)
не должна обращаться в единицу ни в одной из точек правой полуплоскости р.[1]
|
|
Но Н(р) представляет собой передаточную функцию разомкнутого кольца обратной связи, то есть отношение напряжения на зажимах 2-2 к напряжению на зажимах 1-1 при разомкнутой системе, как это показано на рисунке 2.
Для дальнейшего анализа перейдем от комплексной плоскости р на другую комплексную плоскость Н(р)=u+i (см. рисунок 3).
|
|
При этом каждой точке р плоскости s,iw соответствует определенное значение Н на плоскости u,iv. И любой замкнутый контур на плоскости перейдет в некий, также замкнутый контур на плоскости Н.
Если исходный контур на плоскости р задан в виде контура как на рисунке 1, то соответствующий ему контур на плоскости Н называется годографом функции Н.
Показанный на рисунке 1 контур можно разбить на два участка : прямую iw от ¥ до -¥ и полуокружность бесконечно большого радиуса R. На первом участке, где s=0, р=iw, функция H(p) обращается в функцию H(iw).В соответствии с выражением (*) этот участок преобразуется на плоскости H в линию, определяемую следующим соотношением: 
откуда 
|
|
В этих выражениях аргументы переда-
точных функций соответственно четырехполюсников
|
|
.
На втором рисунке контура (см. рисунок 1) при R®¥ функция H(p)®0. Это вытекает из общего выражения
|
|
Реферат опубликован: 21/07/2008