Метод конечных разностей или метод сеток

Страница: 4/6

СijUj =fi i Î W

jÎW

где сумирование происходит по всем узлам сетки W. Если коэффициенты Сij не зависят от i, тоуравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами.

Аппроксимируем нашу задачу т.е. заменим уравнение и краевые условия на соответствующие им сеточные уравнения.

U=U(x,y)

y

M b

M-1

Uij j

j

1

0 1 2 i N-1 N=a x

i

Построим на области G сетку W . И зададим на W сеточную функцию Uij=U(xi,yj) ,

где

xi=x0+ihx

yi=y0+jhy

hx = a/N ,

hy = b/M и т.к.

x0=y0

то

xi=ihx, yi=jhy, i=0 .N

j=0 .M

Найдём разностные производные входящие в уравнение

2

DU = f

(т.е построим разностный аналог бигармонического уравнения).

Uxij = Ui+1j - Uij , Uxi-1j = Uij - Ui-1j

hx hx

Uxxij = Ui-1j - 2Uij + Ui+1j

hx

Рассмотрим Uxxxxij как разность третьих производных :

Uxxi-1j - Uxxij - Uxxij - Uxxi+1j

Uxxxxij = hx hx = Ui-2j - 4Ui-1j + 6Uij - 4Ui+1j + Ui+2j

4

hx hx

Анологично вычислим производную по y :

Uyyyyij = Uij-2 - 4Uij-1 + 6Uij - 4Uij+1 +Uij+2

4

hy

Вычислим смешанную разностную производную Uxxyy :

Uxxij-1 - Uxxij - Uxxij - Uxxij+1

(Uxx)yyij = hy hy = Uxxij-1 - 2Uxxij +Uxxij+1 =

2

hy hy

= Ui-1j-1 - 2Uij-1 + Ui+1j-1 - 2 Ui-1j - 2Uij + Ui+1j + Ui-1j-1 - 2Uij+1 + Ui+1j+1

2 2 2 2 2 2

hxhy hxhy hxhy

В силу того что DU = f

имеем:

Ui-2j - 4Ui-1j + 6Uij - 4Ui+1j +Ui+2j +

4

hx

+ 2 Ui-1j-1 - 2Uij-1 + Ui+1j-1 - 4 Ui-1j - 2Uij +Ui+1j + 2 Ui-1j+1 -2Uij+1 + Ui+1j+1 +

2 2 2 2 2 2

hxhy hxhy hxhy

+ Uij-2 - 4Uij-1 + 6Uij - 4Uij+1 + Uij+2 = fij (*)

4

hy

Это уравнение имеет место для

i=1,2, . N-1

j=1,2, . M-1

Рассмотрим краевые условия задачи. Очевидно следующее :

x=0 ~ i = 0

x=a ~ xN=a

y=0 ~ Yo=0

y=b ~ YM=b

1) х=0 (левая граница области G)

Заменим условия

U = 0

x=o

Uxxx = 0

x=o

на соответствующие им разностные условия

Uoj=0

U-1j=U2j - 3U1j (1`)

2) х=а (правая граница области G)

i=N

Ux = 0

x=a

Uxxx = 0

x=a из того что Ui+1j - Ui-1j = 0

2hx

UN+1j = UN-1j

UNj = 4 UN-1j - UN-2j (2`)

3

3) у=0 (нижняя граница области G)

j=0

Ui ,-1 = Ui1

Ui0 = 0 (3`)

это есть разностный аналог Uy = 0

y=o

U =0

y=o

4) у=b

i=M

U = 0

y=b т.е. UiM=0 (**)

Распишем через разностные производные Uxx + Uyy =0 и учитывая что j=M и (**) получим

UiM-1 = UiM+1

Итак краевые условия на у=b имеют вид

UiM+1 = UiM-1

UiM = 0 (4`)

Итого наша задача в разностных производных состоит из уравнения (*) заданного на сетке W и краевых условий (1`)-(4`) заданных на границе области G (или на границе сетки W)

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ

Рассмотрим применение метода Зейделя для нахождения приближенного решения нашей разностной задачи (*),(1`) - (4`).

В данном случае неизвестными являются

Реферат опубликован: 12/08/2006