Страница: 5/6
Uij = U(xi,yj)
где xi = ihx
yj = jhy
при чём hx = a/N ,
hy = b/M
это есть шаг сетки по x и по у соответственно , а N и М соответственно количество точек разбиения отрезков [0 , а] и [0 , b]
Пользуясь результатами предыдущего раздела запишем уравнение
2
DU = f
как разностное уравнение. И упорядочим неизвестные естественным образом по строкам сетки W , начиная с нижней строки.
|
|
1 Ui-2j - 4 + 4 Ui-1j + 6 - 8 + 6 Uij - 4 + 4 Ui+1j + 1 Ui+2j + 2Ui-1j-1 -
4 4 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2
hx hx hxhy hx hxhy hy hx hxhy hx hxhy
|
|
|
| |||
- 4 + 4 Uij-1 + 2 Ui+1j-1 + 2 Ui-1j+1 - 4 + 4 Uij+1 + 2 Ui+1j+1 + 1 Uij-2 +
2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4
hxhy hy hxhy hxhy hxhy hy hxhy hy
+ 1 Uij+2 = f ij для i=1 . N-1, j=1 . M-1
4
hy
и U удовлетворяет краевым условиям (1`) - (4`), так как в каждом уравнении связаны вместе не более 13 неизвестных то в матрице А отличны от нуля не более 13-элементов в строке. В соответствии со вторым разделом перепишем уравнение:
(k+1) (k+1) (k+1) (k+1)
6 - 8 + 6 Uij = - 1 Uij-2 - 2 Ui-1j-1 + 4 + 4 Uij-1 -
4 2 2 4 4 2 2 2 2 4
hx hxhy hy hy hxhy hxhy hy
(k+1) (k+1) (k+1) (k)
- 2 Ui+1j-1 - 1 Ui-1j + 
4 + 4 Ui-1j + 4 + 4 Ui+1j -
2 2 4 4 2 2 4 2 2
hxhy hx hx hxhy hx hxhy
|
|
(k) (k) (k) (k) (k)
- 1 Ui+2j - 2 Ui-1j+1 + 4 + 4 Uij+1 - 2 Ui+1j+1 - 1 Uij+2 + fij
4 2 2 2 2 4 2 2 4
hx hxhy hxhy hy hxhy hy
(k)
При чем U удовлетворяет краевым условиям (1`) - (4`). Вычисления начинаются с i=1, j=1 и продолжаются либо по строкам либо по столбцам сетки W. Число неизвестных в задаче n = (N-1)(M-1).
Реферат опубликован: 12/08/2006