Страница: 3/24
Выведем уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний в контуре и колебаний горизонтального пружинного маятника. Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, получим равенство: 
+
, где
, 
, тогда имеем
(1)
Так как
и 
получаем
=const (2)
Следует заметить, что уравнение (2) так же следует из закона сохранения энергии. В уравнении (2) i=q' - мгновенное значение силы тока, qmax - максимальный заряд на конденсаторе (он не должен вызвать пробоя). Делаем вывод о зависимости силы тока от величины заряда и находим значение максимальной силы тока:
; 
Откуда
при q=0.
Как видно формально с точки зрения математики уравнения (1) и (2) являются одинаковыми.
Решаем уравнение (2): производная полной энергии по времени равна нулю, так как энергия постоянна.
Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей.
или
(3)
Физический смысл уравнения (3) состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля; знак “минус” указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот). Поэтому полная энергия не меняется.
Вычисляя обе производные получаем:
так как 
, тогда
и 
получаем
(4)
Уравнение (4) является основным уравнением, описывающем процессы в колебательном контуре.
Рассмотрим колебания вертикального пружинного и математического маятников.
Выведем груз из положения равновесия, растянув пружину на длину Хm (рис.2) и отпустим. (Амплитудное растяжение пружины Xm должно быть таково, чтобы был справедлив закон Гука 
и выводимая на его основе формула потенциальной энергии пружины.)
Рис.2
Мгновенные значения координаты груза х в процессе колебаний лежат в пределах -xm£x£xm . По закону сохраненья энергии имеем:
(5)
где X0=mg/k - статическое растяжение пружины (потенциальную энергию груза в поле силы тяжести отсчитываем от уровня равновесия груза, обозначенного на рис. 2 пунктиром). Учитывая, что 
и 
, получим уравнение колебаний
Реферат опубликован: 4/04/2008