Страница: 4/24
=соnst (6)
Как видно уравнения колебаний горизонтального и вертикального пружинных маятников одинаковы.
Ускорение свободного падения g, имеющееся в уравнении (5), отсутствует в полученном уравнении колебаний. Следовательно, колебания груза на пружине не зависят от g и одинаковы, например, на Земле и Луне.
Хотя в дифференциальные уравнения (1) и (6) входят разные величины, математически они эквивалентны.
По аналогии с уравнением (4) описывающем процессы в колебательном контуре, запишем уравнение колебания пружинного маятника:
; 
; 
получим
, (7)
Отклоним теперь математический маятник длиной l (рис. 3) от положения равновесия на длину дуги sm<<l и отпустим. Мгновенная высота подъема маятника
рис.3
так как при a<<1 можно считать 
, а s=la. По закону сохранения энергии имеем:
, где 
или
=const (8)
По аналогии с формулами (4) и (7) x®q®s; 
; 
получаем:
S``= - 
(9)
Различие уравнений (1), (6) и (9) состоит только в обозначениях и физическом смысле входящих в них величин.
Если не предполагать sm<<l (соответственно am=
<<1 рад.), то получится сложное уравнение, решить которое в рамках школьного курса невозможно. Оно будет описывать колебания, период которых зависит от амплитуды. Строго говоря, период колебаний маятника всегда зависит от am, однако при sm<<l рад. этой зависимостью можно пренебречь.
Процессы в колебательном контуре станут понятнее учащимся при рассмотрении преобразований энергий, которые происходят при колебаниях, используя таблицу 2.
|
Время |
Колебательный контур |
Пружинный маятник |
|
|
На конденсаторе находится заряд q0; энергия электрического поля Wэ максимальна. Энергия магнитного поля Wм равна нулю
|
Смешение X0 тела от положения равновесия — наибольшее; его потенциальная энергия Wп максимальна, кинетическая Wк равна нулю
|
|
|
При замыкании цепи конденсатор начинает разряжаться через катушку: возникает ток и связанное с ним магнитное поле. Вследствие самоиндукции сила тока нарастает постепенно; энергия электрического поля преобразуется в энергию магнитного поля
|
Тело приходит в движение, его скорость возрастает постепенно. Потенциальная энергия преобразуется в кинетическую
|
|
|
Конденсатор разрядился, сила тока I0 максимальна, энергия электрического поля равна нулю, энергия магнитного поля максимальна Wэ=0; |
При прохождении положения равновесия скорость v0, тела и его кинетическая энергия максимальны, потенциальная энергия равна нулю Wп=0; |
|
|
Вследствие самоиндукции сила тока уменьшается постепенно; на конденсаторе начинает накапливаться заряд и
|
Тело, достигнув положения равновесия, продолжает движение по инерции с постепенно уменьшающейся скоростью и
|
|
|
Конденсатор перезарядился; сила тока в цепи равна нулю
|
Пружина максимально растянута: скорость тела равна нулю
|
|
|
Разрядка конденсатора возобновляется; ток течет в противоположном направлении; сила тока постепенно возрастает
|
Тело начинает движение в противоположном направлении с постепенно увеличивающейся скоростью
|
|
|
Конденсатор полностью разрядился; сила тока I0 в цепи максимальна Wэ=0; |
Тело проходит положение равновесия, его скорость максимальна Wп=0; |
|
|
Вследствие самоиндукции ток продолжает течь в том же направлении, конденсатор начинает заряжаться |
По инерции тело движется к крайнему положению
|
|
|
Конденсатор снова заряжен, ток в цепи отсутствует, состояние контура аналогично первоначальному
|
Смещение тела максимально, его скорость равна нулю и состояние аналогично первоначальному
|
; 
;
Реферат опубликован: 4/04/2008