Страница: 3/6
Из линейности волнового уравнения следует, что если ему удовлетворяют функции s1, s2,s3, . в отдельности, то ему удовлетворяет также функция
S == S1 + S2 + S3 + .
(принцип, суперпозиции).
Рассмотрим несколько примеров.
а) Волновому уравнению удовлетворяют синусоидальные бегущие волны
s1 = Aсоs(wt — kx),s2= Acos(wt+kx).
На основании принципа суперпозиции волновому уравнению удовлетворяет стоячая волна
s=2Acoskx coswt
являющаяся суперпозицией только что рассмотренных синусоидальных бегущих волн.
б) Волновому уравнению на основании принципа суперпозиции удовлетворяет всякая функция вида
S=
Это—функция вида f(at—bx); она изображает несинусоидальную волну, распространяющуюся без деформации в сторону возрастающих х.
|
|
в) Пусть волны S1, S2, имеющие вид коротких импульсов, распространяются навстречу одна другой. В некоторый момент моментальный снимок суперпозиции S1 + S2 этих волн имеет вид, показанный на рис. 4,а. Через некоторое время моментальный снимок волны будет иметь вид, показанный на рис. 4, б, – волны пройдут «одна сквозь другую» и притом каждая так, как будто другой не существует.
§2. Упругие волны в стержне.
1. волновое уравнение.
В предыдущем параграфе мы рассмотрели математическую сторону волнового уравнения. В этом же параграфе я хотел бы на конкретном примере рассмотреть как работает тот математический аппарат.
|
Рисунок 4 |
Применим второй закон Ньютона и закон сложения сил к движению куска стержня, заключенного между двумя плоскостями x и х+
х. Масса этого куска равна р0S0х, где р0 и S0 – соответственно плотность и сечение в отсутствие деформации. Пусть 
– смещение центра тяжести рассматриваемого куска. Тогда
слева стоит произведение массы куска на ускорение д2/дt2 его центра тяжести, справа – результирующая внешних сил, действующая на кусок.
Разделим уравнение на S0
:
(2.7)
Перейдя к пределу при 
, получим уравнение
(2.8)
справедливое в каждой точке стержня. Оно указывает, что ускорение данной точки пропорционально частной производной напряжения по ж в этой точке.
Подставляя в (2.8) соотношение (2.7), получим:
(2.9)
Вспомнив теперь формулу , содержащую определение деформации, и подставив ее в (2.9), получаем:
(2.10)
Это—волновое уравнение.Оно указывает, что смещение распространяется но стержню в виде волн
(2.11)
или образует суперпозицию таких волн. Скорость распространения этих волн (скорость звука в стержне)
(2.12)
(мы опускаем для краткости индекс 0 у р). Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (2.12)—одна из основных формул акустики.
Наряду со смещением нас интересуют скорость v =
, с которой
.движутся отдельные плоскости х = const (не смешивать с u), деформация 
инапряжение 
. Дифференцируя (2.11)по t и но x,получаем:
v=
uf’(xut) (2.13a)
=f'(x ut), (2.13б)
Реферат опубликован: 8/08/2007