Проекции точки

Страница: 2/4

Следует отметить и тот случай, когда обе проекции точки совпадают. Так будет, если точка находится во второй или чет­вертой четверти на одинаковом расстоя­нии от плоскостей проекций. Обе проекции совмещаются с самой точкой, если послед­няя расположена на оси OX.

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в про­странстве. Так как каждая фигура или тело представляет собой совокупность то­чек, то можно утверждать, что и две орто­гональные проекции предмета (при нали­чии буквенных обозначений) вполне опре­деляют его форму.

Однако в практике изображения строи­тельных конструкций, машин и различных инженерных сооружений возникает необ­ходимость в создании дополнительных проекций. Поступают так с единственной целью — сделать проекционный чертеж более ясным, удобочитаемым.

Модель трех плоскостей проекций пока­зана на рисунке. Третья плоскость, перпендикулярная и H и V, обозначается бук­вой W и называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость будут также именоваться профильными, а обоз­начают их заглавными буквами или циф­рами с индексом 3 (aз, bз, cз, . 1з, 2з, 33 .).

Плоскости проекций, попарно пересека­ясь, определяют три оси: ОX, ОY и ОZ, которые можно рассматривать как систе­му прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О. Сис­тема знаков, указанная на рисунке, со­ответствует «правой системе» координат.

Три плоскости проекций делят про­странство на восемь трехгранных углов — это так называемые октанты. Нумера­ция октантов дана на рисунке.

Как и прежде, будем считать, что зри­тель, рассматривающий предмет, находит­ся в первом октанте.

Для получения эпюра плоскости H и W вращают, как показано на рисунке, до совмещения с плоскостью V. В результа­те вращения передняя полуплоскость H оказывается совмещенной с нижней по­луплоскостью V, а задняя полуплоскость H — с верхней полуплоскостью V. При повороте на 90° вокруг оси ОZ передняя полуплоскость W совместится с правой полуплоскостью V, а задняя полупло­скость W — с левой полуплоскостью V.

Окончательный вид всех совмещенных плоскостей проекций дан на рисунке. На этом чертеже оси ОX и ОZ, лежащие в не подвижной плоскости V, изображены только один раз, а ось ОY показана дваж­ды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью H, ось ОY на эпюре совме­щается с осью ОZ, а вращаясь вместе с плоскостью W, эта же ось совмещается с осью ОX.

В дальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— ОX, — ОY, — ОZ) указываться не будут.

ТРИ КООРДИНАТЫ И ТРИ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ЕЕ РАДИУСА-ВЕКТОРА.

Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определе­ния ее положения в пространстве или на поверхности.

В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоу­гольных декартовых координат х, у и z.

Координату х называют абсциссой, у — ординатой и z — аппликатой. Абсцисса х определяет расстояние от дан­ной точки до плоскости W, ордината у — до плоскости V и аппликата z - до плос­кости H. Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рисунке, составим таблицу знаков координат во всех восьми октантах. Ка­кая-либо точка пространства А, заданная координатами, будет обозначаться так: A (х, у, z).

Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись примет следующий вид А (5, 4, 6). Эта точ­ка А, все координаты которой положитель­ны, находится в первом октанте

Координаты точки А являются вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора

ОА по отношению к началу координат. Если i, j, k — единичные векторы, направ­ленные соответственно вдоль координат­ных осей х, у, z (рисунок), то

ОА = ОAxi+ОАyj + ОАzk ,где ОАХ, ОАУ, ОАг — координаты векто­ра ОА

Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели (рисунок) рекомендуется осуществлять с помощью координатного прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки О откладывают отрез­ки, соответственно равные 5, 4 и 6 едини­цам длины. На этих отрезках ( Оax , Оay , Оaz ), как на ребрах, строят прямоугольный параллелепипед. Вершина его, проти­воположная началу координат, и будет определять заданную точку А. Легко заме­тить, что для определения точки А доста­точно построить только три ребра парал­лелепипеда, например Оax , axa1 и a1А или Оay , aya1 и a1A и т. д. Эти ребра образу­ют координатную ломаную линию, длина каждого звена которой определяется со­ответствующей координатой точки.

Реферат опубликован: 27/02/2007