Страница: 2/11
Для вычисления скорости звука в пьезодиэлектрике достаточно соотношение (1) и соотношение между D и Е подставить в уравнение теории упругости:
ρ d2u/dt2 = ds/dx
(ρ — плотность кристалла) и в уравнение Пуассона dD/dx = 0 (диэлектрик!). В результате несложных преобразований получается величина:
 |
ωd = √ λ ⁄ ρ * (1 + χ)½ , χ = 4πβ²/ελ (2)
Первое слагаемое в выражении для ωd дописывает вклад от близкодействующих упругих сил, которые существуют и в непьезоэлектриках. Второе обусловлено .дополнительными квазиупругими силами, связанными с пьезоэлектрическими полями. Таким образом, роль пьезоэлектрического эффекта определяется величиной χ , которую мы назовем коэффициентом пьезоэлектрической связи. В большинстве известных пьезоэлектрических полупроводников χ не превышает 0,1. Поэтому величину χ можно считать малым параметром теории, что мы и будем делать в дальнейшем. Так, вместо (2) имеем:
 |
ωd = ω0(1 + χ/2), ω0 = √ λ ⁄ ρ
Обратимся теперь к пьезополупроводникам. Как взаимодействуют электроны проводимости с пьезоэлектрическим полем? Предположим сначала, что звук «замер» — создана периодическая в пространстве статистическая деформация:
u(x) = u0 cos qx.
В пьезодиэлектрике из уравнения Пуассонамысразу бы получили: E = 4πβ du/dx ε. Электрический потенциал поля φ был бы при этом равен (Е = — dφ/dx).
φ0 = 4πβu / ε
А что будет с электронами в полупроводнике? Они перераспределятся в пространстве, стремясь стечь с потенциальных «горбов» и заполнить потенциальные «ямы». При этом уменьшится первоначальный потенциал (φ0, или, как говорят, произойдет его экранирование электронами проводимости. Поэтому первый вопрос, который следует решить: как перераспределяются электроны в поле потенциала и каким образом они его будут экранировать? Для решения этого вопроса следует выяснить, как нужно описывать движение электрона в поле звуковой волны. Это существенно зависит от того, какова величина соотношения между длиной звуковой волны 2л/q и длиной l свободного пробега электронов — какова величина параметра ql. Этот параметр играет центральную роль в теории акустических свойств проводников; при различных его значениях электроны по-разному взаимодействуют со звуком. Обычно в пьезоэлектрических полупроводниках ql «1, поэтому пока ограничимся рассмотрением этого случая. В чистых металлах при низких температурах может выполняться противоположное неравенство. Об этом пойдет речь в следующей главе.
Условие ql «1 означает, что на расстояниях порядка длины звуковой волны электрон успевает много раз столкнуться. В процессе столкновений устанавливается равновесное распределение электронов — электроны лишены индивидуальности, и их можно описывать как объемный заряд, характеризуемый электропроводностью о и коэффициентом диффузии D. В результате плотность тока j можно записать в виде:
j = σ (- dφ/dx) – e D dn/dx
где n — концентрация электронов. В стационарном состоянии плотность тока j в отсутствие внешнего электрического поля должна обращаются в нуль. Потому
n – n0 = - σφ / e D ,
где n0 - равновесная концентрация электронов. Если это выражение подставить в уравнение Пуассона, имеющее в полупроводнике вид:
dD/dx = 4π(n – n0)e ,
и использовать выражение для D, то сразу получим:
φ = φ0 (qR)2 / (1 + ((qR)2) (3)
Здесь - радиус экранирования Дебая — Хюккеля, равный
R = √ εD/4πσ = √ εκΤ/4πe²n0 (4)
Реферат опубликован: 31/12/2008