Страница: 3/4
Задача 6. Деление отрезка в данном отношении
Отрезок, заданный на местности двумя точками А и В, требуется разделить в отношении, в котором находятся длины двух отрезков KL и MN, заданных на местности точками K, L и M, N. Как это сделать?
Решение!
Построение точки F, делящей отрезок АВ в отношении AF:BF =KL: MN, произведём аналогично построению середины отрезка АВ, описанному в решении задачи 5. Отличие будет состоять в том, что точку С выберем на расстоянии KL от точки В, а точку D - на расстоянии 2MN от точки С. В этом случае прямая EC по-прежнему будет параллельна отрезку AG, а значит, разделит отрезок АВ в том же отношении, в котором она делит отрезок BG.
Задача 7. Построение биссектрисы угла
На местности обозначены три точки A, M и N, не лежащие на одной прямой. Проложите биссектрису угла MAN.
Решение!
Выберем на стороне данного угла точки В и С, а на другой - точки D и Е так, чтобы выполнялись равенства
AB = BC = AD = DE.
Найдём точку О пересечения прямых ВЕ и CD. Тогда прямая АО будет искомой биссектрисой, поскольку в равнобедренном треугольнике ACE биссектриса AF является одновременно и медианой, а значит, проходит через точку О пересечения медиан EB и CD.
Задача 8. Построение перпендикуляра к прямой
Проложите на местности какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой, проходящей через заданные точки А и В. Как проложить перпендикуляр к прямой АВ, проходящей через данную точку H?
Решение!
Продолжим прямую АВ за точку В и отложим на ней точку С на расстоянии АВ от точки В. Кроме того, отложим на том же расстоянии от точки В ещё две точки D и E в двух разных, но не противоположных направлениях. Найдём точку F пересечения прямых AE и CD, а также точку G пересечения прямых AD и CE. Прямая FG перпендикулярна прямой АВ. Действительно, точка А, Е,D и С равноудалены от точки В, т.е. лежат на одной окружности с центром В и диаметром АС. Следовательно, вписанные углы ADC и AEC прямые, поэтому AD и CE – высоты треугольника AFC. Так как все три высоты этого треугольника пересекаются в одной точке G, то прямая FG перпендикулярна стороне АС. Для того чтобы проложить перпендикуляр к прямой АВ через данную точку H, достаточно теперь проложить через эту точку прямую, параллельную прямой FG.
Задача 9. Построения под заданным углом
На местности обозначены точки А и В. Найдите точки C, D и E, для которых выполнены равенства 
BAC=45°,BAD=6O,° BAE=3O°.
Решение!
Проложим перпендикуляр к прямой АВ, пересекающий в какой–то точке луч АВ. Без ограничения общности считаем для удобства, что эта точка пересечения и есть точка В. На перпендикуляре по разные стороны от точки В отложить точки С и F, удалённые от точки В на расстояние АВ. Тогда угол ВАС равен 45° (из равнобедренного прямоугольного треугольника АВС). На прямой AF отложим точку G на расстоянии АВ от точки А, а затем на прямой ВС отложим точку D на расстоянии CG от точки В. Тогда угол ВАD равен 6О°, так как по теореме Пифагора для прямоугольного треугольников АВС, ACG и ABD имеют место равенства
Реферат опубликован: 22/08/2008