Страница: 6/14
(3.4.)
отношение квадрата пикового значения сигнала к дисперсии шума в момент времени t0 будет равно:
(3.5.)
Дальше задача сводиться к отысканию коэффициента передачи Kопт(jw), обеспечивающего максимум значения h2. Для этого можно воспользоваться неравенством Шварца-Буняковского для комплексных функций.
(3.6.)
данное неравенство превращается в равенство только при условии:
, где а – некоторая постоянная. (3.7.)
Подставляя неравенство (3.6.) в (3.7.), замечаем, что максимум величины h2 обеспечивается при выполнении условия:
(3.8.)
из последнего выражения получим:
K(w)=aS(w), jK(w)+jS(w)+wt0=0
Откуда находим:
jK(w)+jS(w)+wt0=0
jK(w)=-jS(w)-wt0.
Таким образом, передаточная функция оптимального фильтра должна определяться выражением:
(3.9.), где * обозначает комплексно-сопряженную величину. Тогда отношение сигнал/шум в момент времени t0 будет равно:
, где E – энергия сигнала на входе фильтра. Величина hm2 определяется только энергией сигнала и не зависит от его формы.
Пояснения к полученным результатам.
АЧХ оптимального фильтра отличается постоянным множителем от амплитудного спектра сигнала, поэтому оптимальный фильтр пропускает различные частотные составляющие сигнала неравномерно с тем большим ослаблением, чем меньше интенсивность этих составляющих, в результате полная мощность шума на выходе фильтра получается меньшей, чем при равномерной АЧХ.
Заметим, что член выражения wt0 для фазовой характеристики означает сдвиг во времени на величину t0 всех частотных составляющих сигнала. Приведенные равенства означают, что в момент времени t0 все спектральные составляющие сигнала фильтра имеют одну и ту же начальную фазу. Оптимальный фильтр обеспечивает компенсацию начальных фаз составляющих сигнала. Складываясь в фазе, спектральные составляющие сигнала образуют в момент времени t0 пиковый выброс выходного сигнала. На составляющие шума, имеющие случайные начальные фазы, оптимальный фильтр таково влияния не оказывает.
Вследствие этих двух причин оптимальный фильтр обеспечивает максимум пикового напряжения сигнала к среднеквадратичному значению шума.
Так как частотные характеристики оптимального фильтра, обеспечивающего максимум отношения сигнал/шум, полностью определяются спектром (т.е. формой) сигнала, то говорят, что они согласованы с сигналом, а такой фильтр называют согласованным для данного сигнала. Следует отметить, что оптимальный фильтр для сигнала S(t) будет являться оптимальным и для всех сигналов той же формы, но отличающихся от него амплитудой, временным положением и начальной фазой заполнения (для радиоимпульсов).
Полученные выше результаты относятся к случаю приема сигналов с белым шумом. Рассматривая более общий случай, когда шум имеет неравномерную спектральную плотность Gn(w), можно показать, что передаточная функция оптимального фильтра должна определяться выражением
(3.10.)
Оптимальный фильтр в этом случае можно представить в виде последовательного соединения двух фильтров. Первый из них имеет амплитудно-частотную характеристику 
, его назначение – “обелить” шум, который поступает на вход фильтра. Второй фильтр с передаточной характеристикой K2(jw) является оптимальным для искаженного сигнала (после первого фильтра), но уже при белом шуме.
Реферат опубликован: 8/01/2009