Страница: 1/6
ВВЕДЕНИЕ
Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики). Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа.
Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удаётся получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей или метод сеток.
Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов, заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое называется сеткой или решёткой. Вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами. И эти схемы решаются относительно неизвестной сеточной функции.
Далее мы будем рассматривать применение итерационного метода Зейделя для вычисления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с неоднородным бигармоническим уравнением.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть у нас есть бигармоническое уравнение :
2
U = f
Заданное на области G={ (x,y) : 0<=x<=a, 0<=y<=b }. Пусть также заданы краевые условия на границе области G .
U = 0 Y
x=0 b
Uxxx = 0
x=0
G
Ux = 0
x=a
Uxxx = 0 0 a X
x=a
U = 0 U = 0
y=0 y=b
Uy = 0 Uxx + Uyy = 0
y=0 y=b y=b
Надо решить эту задачу численно.
Для решения будем использовать итерационный метод Зейделя для решения сеточных задач.
По нашей области G построим равномерные сетки Wx и Wy с шагами hx и hy соответственно .
Wx={ x(i)=ihx, i=0,1 .N, hxN=a }
Wy={ y(j)=jhy, j=0,1 .M, hyM=b }
Множество узлов Uij=(x(i),y(j)) имеющих координаты на плоскости х(i),y(j) называется сеткой в прямоугольнике G и обозначается :
|
| |||
|
| |||
W={ Uij=(ihx,jhy), i=0,1 .N, j=0,1 .M, hxN=a, hyM=b }
Реферат опубликован: 12/08/2006