Страница: 2/9
(gX)B = (gX)A + (∂g X /∂y) x + (∂g X /∂y)y + (∂g X /∂z)z
(1.2)
(gY)B = (gY)A + (∂gY /∂y) x + (∂gY /∂y)y + (∂gY /∂z)z
Но согласно (1.1) производные составляющих силы тяжести являются вторыми производными потенциала
∂gX /∂x = ∂ 2W/∂ X 2 ;
∂gX /∂y = ∂gY / ∂ x = ∂ 2W/∂ x ∂y ; ∂ 2 g/∂y 2 = ∂ 2 W/∂y 2 (1.3)
∂gZ /∂ x = ∂ 2W/∂ x ∂z ; ∂g Z /∂y = ∂ 2W/∂ x ∂z (1.4)
Производные (1.4) называют горизонтальными градиентами силы тяжести.
Уравнение (1.2) поясняет принципиальную возможность измерения вторых производных потенциала : если измерить разности (gX)B - (gX)A ,
(gY)B - (gY)A составляющих силы тяжести в двух точках, при известных расстояниях X, Y, Z между ними, можно найти входящие в (1.2) коэффициенты. Вторые производные потенциала обычно записывают в виде
∂2W/∂x2=Wxx ∂2W/∂x∂y=Wxy ∂2W/∂x∂z=Wxz
(1.5)
∂2W/∂y2=Wyy ∂2W/∂y∂z=Wyz ∂2W/∂z2=Wzz
Гравитационный вариометр, ориентированный в топоцентрической системе координат X, Y, Z (рис. 2), связанной с гравитационным полем, измеряет компоненты тензора [3]
(1.6)
Для нахождения компонентов тензора (1.6) измеряют смещение двух или большего числа пробных масс в неоднородном гравитационном поле измерительной системы: при этом полагают, что градиент постоянен в объёме, занятом системой. Разность ускорений, воздействующих на близкие пробные массы, получаются по измерениям разности их перемещений (осевая система с поступательным движением) либо углов поворота (вращательная система). Эти перемещения измеряют оптическими или электрическими устройствами.
1.2. Основы теории вариометров
Основным прибором для нахождения значения почти всех вторых производных потенциала W силы тяжести является гравитационный вариометр. Вариометр разработан венгерским физиком Р. Этвешем в конце XIX века.
Рассмотрим основы теории вариометра. Он представляет собой крутильные весы – прибор для измерения малых сил, действующих в горизонтальной плоскости. На рис. 3 ОО1 – вертикальная нить, на которой подвешен рычаг AB с грузами массы m на концах. Сила тяжести в точках A, O, B по величине и по направлению различна. Выберем систему прямоугольных координат, начало координат поместим в точку O, ось z направим по касательной к отвесной линии в точки O, ось x – на север, ось y – на восток. Отличие составляющих gz в точке A и B вызовет наклон коромысла AB в вертикальной плоскости, который при наблюдениях не измеряется и не учитывается. Отличие горизонтальных составляющих в этих точках создаёт пару сил, которые вызовут поворот коромысла в горизонтальной плоскости на угол θ – θ0 отсчитываемый от положения коромысла в однородном поле.
рис. 3
1.3 Основное уравнение вариометра
Напишем уравнение равновесия: τ(θ – θ0)+MZ =0 где τ – крутильная жёсткость нити OO1, θ – θ0 – угол закручивания нити относительно положения равновесия коромысла в однородном поле MZ – момент внешних сил относительно оси z. Далее по известным формулам получаем основное уравнение гравитационного вариометра
Реферат опубликован: 13/08/2008