Страница: 2/3
(2.5)
(2.6)
Развернем 
и 
по формулам для синуса и косинуса разности и подставим в формулу (2.2) 
:
Сгруппируем члены уравнения:
(2.7)
Уравнение (2.7) будет тождественно при любых значениях t тогда, когда коэффициенты при cosωt и sinωt в обеих частях уравнения будут одинаковыми.
(2.8)
(2.9)
Найдём значения A и 
при которых функция (2.4) удовлетворяет уравнению (2.2). Для этого возведём равенства (2.8) и (2.9) в квадрат и сложим их друг с другом
(2.10)
Из (2.9) следует, что
(2.11)
Подставим значения A и в (2.4) и получим частное решение неоднородного уравнения (2.2):
(2.12)
Общее решение имеет вид
Первое слагаемое играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя роль слагаемого уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохранив в решении только второе.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (2.10) приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при данной частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота — резонансной частотой.
Для того чтобы определить резонансную частоту ωрез, нужно найти максимум функции (2.10), т.е. продифференцировать это выражение по ω и приравняв производную нулю:
Решения этого уравнения ω=0 и 
, но два из них исключаются, т.к. решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя, а 
не имеет физического смысла (частота не может быть отрицательной).
(2.13). Следовательно 
(2.14)
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты колебаний показана графически на рисунке слева. Кривые на графике соответствуют различным значениям параметра b. Чем меньше b, тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой. При очень большом затухании (таком, что b2 > ω0) выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что резонанс в этом случае не наблюдается — с увеличением частоты амплитуда монотонно убывает.
Изображенная на рисунке совокупность графиков функции (2.10) называется резонансными кривыми.
Согласно формуле (2.14) при малом затухании (т. е. при b<<ω0) амплитуда при резонансе 
Если разделить это выражение на смещение x0 из положения равновесия под действием постоянной силы F0, равное 
. В результате получим, что
где 
- логарифмический декремент затухания.
Следовательно, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда при резонансе превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы, модуль которой равен амплитуде вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).
Реферат опубликован: 7/02/2009