Страница: 4/6
epmn = Upmn - Umn
между сеточной функцией Up = {Upmn} и точным решением U = {Umn} задачи (1).
Решение {Umn} задачи (1) удовлетворяет уравнениям:
Upmn - Umn = LxxUmn - j(xm,yn)
t
Umn|г = Y(smn)
U0mn = Umn
Вычитая эти равенства из (4) почленно, получим для погрешности epmn следующую разностную задачу:
ep+1mn - epmn = Lxxepmn + Lyyepmn
t
ep+1mn|г = 0 (9)
e0mn = Y0(xm,yn) - Umn
Сеточная функция epmn при каждом p (p=0,1, .) обращается в ноль на границе Г.
Метод переменных направлений
Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности:
dU = LU + f(x,t) , xÎG02 , tÎ[0,t0]
dt
U|г = m(x,t) (1)
U(x,0) = U0(x)
|
| |||
|
| |||
LU = LU = (L1 +L2)U , где LaU = d2U , a=1,2
dx2
Область G0a =G0 = {0<= xa <=la , a=1,2} -прямоугольник со сторонами l1 и l2, Г - граница G0 = G0 + Г.
В G0 построили равномерную по xa сетку vh с шагами h1 = l1/N1 , h2 = l2/N2. Пусть nh - граница сеточной области wh, содержащая все узлы на сторонах прямоугольника, кроме его вершин, vh = wh + nh.
Оператор La заменим разностным оператором La:
Lay = yxaxa , L = L1 + L2
В случае одномерного уравнения теплопроводности неявная схема на каждом слое приводит к разностной краевой задаче вида:
Aiyi-1 - Ciyi + Biyi+1 = -F , i=1, .,N-1
y0=m1 (2)
yn=mN
Ai > 0, Bi > 0, Ci > Ai + Bi
которая решается методом прогонки.
Рассмотрим теперь нашу двимерную задачу в прямоугольнике. Сетку vh можно представить как совокупность узлов, расположенных на строках i2=0,1,2, .,N2, или как совокупность узлов расположенных на столбцах i1=1,2, .,N1. Всего имеется N1+1 столбцов и N2+1 строк. Число узлов в каждой строке равно N1+1, а в каждом столбце N2+1 - узлов.
Если на каждой строке (или столбце) решать задачу вида (2) методом прогонки при фиксированом i2(или i1), то для отыскания решения на всех строках (или столбцах), т.е. во всех узлах сетки, понадобится О(N1N2) арифметических действий. Основная идея большинства экономичных методов и состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению одномерных задач вида (2) вдоль строк и вдоль столбцов.
Наряду с основными значениями искомой сеточной функции y(x,t), т.е. с y = yn и y` = yn+1 вводится промежуточное значение y = yn+½ , которое можно формально рассматривать как значение при t = tn+½ = tn+½ . Переход от слоя n на слой n+1 совершается в два этапа с шагами 0.5t .
yn+½ - yn = L1yn+½ + L2yn + jn (3)
0.5t
yn+1 - yn+½ = L1yn+½ + L2yn+1 + jn (4)
0.5t
Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах x = xi сетки vh и для всех t=th > 0.
Первая схема неявная по направлению х1 и явная по х2, вторая схема явная по х1 и неявная по х2. К уравнениям (3),(4) надо добавить начальные условия:
y(x,0) = U0(x) , xÎvh (5)
и разностно краевые условия, например, в виде:
yn+1 = mn+1 при i1=0, i2=N2 (6)
yn+½ = m при i1=0, i2=N1 (7)
где m = 1 (mn+1 + mn) - t L2(mn+1 - mn) (8)
2 4
Т.о. , разностная краевая задача (3)-(8) соответствует задаче (1). Остановимся на методе решения этой задачи. Пререпишем (3) и (4) в виде:
|
|
2 y - L1 y = F , F = 2 y + L2 y + j
t t (9)
|
| |||||||
|
|
| ||||||
|
| |||||||
Реферат опубликован: 27/05/2008