Страница: 5/24
§ 2. Решение уравнений, описывающих колебания в пружинном и математическом маятниках.
Найдем решение уравнения:
(1)
Нельзя считать, что 
или 
, так как вместо получилось бы равенство
Чтобы в выражении второй производной 
был множитель 
запишем уравнение (1) в виде:
(2)
Найдем первую и вторую производные:
Функция (2) есть решение исходного уравнения (1). Функция
есть также решение исходного уравнения.
Обозначим постоянную величину 
, зависящую от свойств системы, через 
: 
Тогда решение уравнения (2) можно записать:
(3)
Тогда уравнение (1), описывающее свободные электромагнитные колебания примет вид:
(4)
Из курса математики известно, что наименьший период косинуса равен 2π. Следовательно, ω0=2π,
. Так как 
, тогда период колебаний равен
- формула Томсона.
Аналогично этим рассуждениям решим уравнение для колебаний вертикального пружинного маятника:
(5)
Запишем уравнение (5) в виде:
(6)
Найдем первую и вторую производные:
Функция (6) есть решение исходного уравнения. Функция 
есть также решение исходного уравнения. Обозначим постоянную величину
через w0 получим
(7)
Тогда уравнение (5) будет иметь вид:
(8)
Период колебаний для пружинного маятника по аналогии с формулой Томсона
где 
; 
получим
(9)
Аналогично выше изложенным рассуждениям решим уравнение для колебаний математического маятника:
(10)
Запишем уравнение (10) в виде:
(11)
Реферат опубликован: 4/04/2008