Страница: 5/16
Пусть дан произвольный непрерывный сигнал 
и его преобразование 
, которые в общем случае могут быть неограниченными по спектру и по длительности. Если положить, что N отсчетов во времени взяты с равномерным интервалом T секунд, то ограничим спектр этого сигнала частотами 
герц взвешиванием в частотной области: 
, здесь 
- функция окна в частотной области. При этом сигнал трансформируется следующим образом 
. Далее берутся отсчеты во временной области сформированного первой операцией и ограниченного по спектру сигнала 
, соответствующие изменения в спектре можно представить как 
. Теперь ограничимся длительностью сигнала NT :
. И снова свертка в частотной области для спектра полученного на этапе 2 
. Последнее что осталось сделать - взятие отсчетов по частоте с интервалом 1/NT герц, это приводит к периодическому продолжению исходных N временных отсчетов. Сигнал на последнем этапе принимает следующий вид : 
, а его преобразование : 
.
Окончательно можно получить, что если исходный сигнал и - его преобразование, то на четвертом шаге 
и 
связаны следующими соотношениями :
, где 
Последние соотношения называют дискретно-временными рядами Фурье. Исходя из процесса построения дискретно-временных рядов Фурье, можно установить требуемое точное соотношение между рядом Фурье временной последовательности и соответствующей непрерывно-временной функцией или между рядом Фурье преобразования и исходной функции преобразования. Если ширина спектра ограничена частотой 1/T герц, то ряд Фурье временной последовательности будет сохранять исходные значения в отсчетных точках, однако ряд Фурье последовательности преобразований будет состоять из отсчетов некоторого «размытого» варианта исходного преобразования . С другой стороны, если длительность фактически ограничена интервалом NT секунд, то ряд Фурье последовательности преобразований сохраняет исходные значения в отсчетных точках, однако ряд Фурье временной последовательности будет состоять из некоторого «размытого» варианта исходного сигнала . Эффекты размытия можно ослабить за счет уменьшения T (так что 1/T будет соответствовать более широкой полосе) или увеличения N (так что NT будет соответствовать большей длительности), в результате чего дискретно-временной рад Фурье будет точнее аппроксимировать непрерывное преобразование. Ряд будет идентичным непрерывному преобразованию только в случае периодических сигналов, которые можно представить в виде суммы из комплексных синусоид с частотами k/NT герц, где k=0,1, .N-1.
1.2.3. Анализ эргодичных дискретных процессов.
Определение: Дискретный случайный процесс 
эргодичен в среднем если
Определение: Дискретный случайный процесс автокорреляционно эргодичен если
Допущение об эргодичности позволяет не только ввести через усреднение по времени определения для среднего значения и автокорреляции, но позволяет дать подобное определение спектральной плотности мощности :
Реферат опубликован: 18/12/2006