Страница: 9/16
, m<0
В частном случае для авторегрессионных параметров, получаем :
, 
, m=0
, m<0
В матричном виде эти соотношения выглядят следующим образом :
Таким образом, если задана автокорреляционная последовательность для 
, то АР-параметры можно найти в результате решения последнего матричного соотношения (называемого нормальными уравнениями Юла-Уалкера), где автокорреляционная матрица является и теплицевой, и эрмитовой.
Наиболее очевидным подходом к авторегрессионному оцениванию является решение нормальных уравнений Юла-Уалкера, в которые вместо значений неизвестной автокорреляционной функции подставляем их оценки. Результаты экспериментов с этим, первым методом АР-оценивания и сравнение с другими методами этого класса приведены в соответствующем разделе.
1.4.3. Методы оценивания коэффициентов отражения.
Рекурсивное решение уравнений Юла-Уалкера методом Левинсона связывает АР-параметры порядка p c параметрами порядка p-1 выражением :
, где n=1,2, p-1
Коэффициент отражения 
определяется по известным значениям автокорреляционной функции :
, где 
Из всех величин только непосредственно зависит от автокорреляционной функции. В разное время предлагалось несколько различных процедур оценки коэффициента отражения, рассмотрим некоторые из них.
1.4.3.1. Геометрический алгоритм.
Ошибки линейного предсказания вперед и назад определяются соответственно следующими выражениями:
Рекурсивные выражения, связывающие ошибки линейного предсказания моделей порядков p и p-1, определяются простой подстановкой 
и 
в рекурсивное соотношение для авторегрессионных параметров:
Несложно показать, что коэффициент отражения обладает следующим свойством (является коэффициентом частной корреляции между ошибками линейного предсказания вперед и назад) :
Используя оценки взаимной корреляции и автокорреляции ошибок предсказания вперед и назад, получим :
Таким образом, геометрический алгоритм использует алгоритм Левинсона, в котором вместо обычного коэффициента отражения, вычисляемого по известной автокорреляционной функции, используется его оценка 
Окончательный вид выражений геометрического алгоритма :
, где n=1,2, p-1
, 
, где 
1.4.3.2. Гармонический алгоритм Берга.
Алгоритм Берга идентичен геометрическому, однако оценка коэффициента отражения находится из других соображений, а именно : при каждом значений параметра p в нем минимизируется арифметическое среднее мощности ошибок линейного предсказания вперед и назад (то есть выборочная дисперсия ошибки предсказания):
Приравнивая производные к нулю, имеем оценку для :
Некоторым обобщением является взвешивание среднего квадрата ошибки предсказания для уменьшения частотного смещения, наблюдаемого при использовании базового метода Берга:
Реферат опубликован: 18/12/2006