Страница: 7/16
Обобщением этого подхода является обработка выборочного спектра с помощью фильтра нижних частот с частотной характеристикой 
. В этом случае модифицированную периодограмму можно записать в виде свертки частотной характеристики фильтра нижних частот и самого выборочного спектра
Вторым методом сглаживания выборочного спектра является усреднение по псевдоансамблю периодограмм за счет деления последовательности из N отсчетов данных на P неперекрывающихся сегментов по D отсчетов в каждом, так что DP<N (называемым периодограмма Бартлетта). Тогда p-ый сегмент будет состоять из отсчетов 
, где n=0,1, ,D-1,p=0,1, P-1. Для каждого сегмента независимо вычисляется выборочный спектр в диапазоне частот 
Далее на каждой частоте, представляющей интерес, P отдельных немодифицированных периодограмм усредняются, с тем чтобы получить окончательную оценку:
Математическое ожидание и дисперсия даются следующими выражениями:
Из выражения для дисперсии видно, что устойчивость спектральной оценки Бартлетта улучшается как величина, обратная числу сегментов P.
Третьим и одним из самых эффективных методов является метод периодограмм Уэлча. Основное отличие от периодограммы Бартлетта состоит в том, что здесь используется окно данных и осуществлено перекрывающееся сегментирование последовательности отсчетов. Применение окна данных дает незначительное ухудшение разрешения по частоте, так как сам спектр окна вносит погрешности в результирующий спектр, однако удается достичь уменьшения влияния боковых лепестков спектра прямоугольного окна, которое косвенно применяется при сегментировании последовательности данных. Целью перекрытия сегментов является увеличение числа усредняемых сегментов и тем самым уменьшение дисперсии оценки спектральной плотности мощности. Сам метод состоит в следующем. Пусть дана запись комплексных данных 
, которая разбивается на число сегментов D со сдвигом S отсчетов между соседними сегментами, тогда взвешенный p-ый сегмент будет состоять из 
отсчетов, где n = 0,1 D-1, p = 0,1 P-1, P=[(N-D)/S+1]. А выборочный спектр взвешенного p-ого сегмента в диапазоне частот
, где
И окончательный вид периодограммы Бартлетта приобретает вид :
Среднее и дисперсия оценки выглядят следующим образом (доказательство первого соотношения в приложении А):
При использовании перекрытия соседних сегментов можно сформировать большее число псевдореализаций, чем в методе Бартлетта, а это уменьшает величину дисперсии периодограммы Уэлча, хотя порядок имеет тот же самый. Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.
1.3.4. Коррелограммные оценки Спектральной Плотности Мощности.
Альтернативным методом является коррелограммный метод. Косвенный метод основан на использовании бесконечной последовательности значений данных для расчета автокорреляционной последовательности, преобразование Фурье которой дает искомую СПМ. В отличии от прямого метода, который основан на вычислении квадрата модуля преобразования Фурье для бесконечной последовательности данных с использованием соответствующего статистического усреднения. Показано, что результирующая функция, получаемая без использования такого усреднения и называемая выборочным спектром, оказывается неудовлетворительной из-за статистической несостоятельности получаемых с ее помощью оценок, поскольку среднеквадратичная ошибка таких оценок сравнима по величине со средним значением оценки.
Автокорреляционная последовательность на практике может быть оценена по конечной записи данных следующим образом (несмещенная оценка):
, где 
или смещенной оценкой автокорреляции, которая имеет меньшую, по сравнению с несмещенной оценкой, дисперсию:
Реферат опубликован: 18/12/2006